Основной математический объект, изучаемый в монографии, — это регулярные по малому параметру многочастотные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с медленными и быстрыми фазовыми переменными, в которых возможны резонансные соотношения между основными частотами.
Дана классификация резонансных систем, в основу которой положена идея о застревании или незастревании решения в окрестности резонансных точек, разработана конструктивная теория возмущений, использующая принцип усреднения (сглаживания), асимптотические представления в смысле Пуанкаре и итерационные варианты классического метода Ляпунова—Пуанкаре. В большинстве случаев удается построить приближенные решения многочастотных систем в аналитической или численно-аналитической форме с любой заданной точностью относительно малого параметра. Изложены также некоторые общие вопросы компьютерных технологий асимптотической теории дифференциальных уравнений и конструктивные методы построения первого и высшего приближений.
Эффективность разработанной асимптотической теории иллюстрируется на некоторых задачах прикладного нелинейного анализа.
Для специалистов в области нелинейного анализа, математического моделирования и вычислительной техники.
Osnovnoy matematicheskiy obekt, izuchaemyy v monografii, eto regulyarnye po malomu parametru mnogochastotnye sistemy obyknovennykh differentsialnykh uravneniy s medlennymi i bystrymi fazovymi peremennymi, v kotorykh vozmozhny rezonansnye sootnosheniya mezhdu osnovnymi chastotami. Dana klassifikatsiya rezonansnykh sistem, v osnovu kotoroy polozhena ideya o zastrevanii ili nezastrevanii resheniya v okrestnosti rezonansnykh tochek, razrabotana konstruktivnaya teoriya vozmushcheniy, ispolzuyushchaya printsip usredneniya (sglazhivaniya), asimptoticheskie predstavleniya v smysle Puankare i iteratsionnye varianty klassicheskogo metoda LyapunovaPuankare. V bolshinstve sluchaev udaetsya postroit priblizhennye resheniya mnogochastotnykh sistem v analiticheskoy ili chislenno-analiticheskoy forme s lyuboy zadannoy tochnostyu otnositelno malogo parametra. Izlozheny takzhe nekotorye obshchie voprosy kompyuternykh tekhnologiy asimptoticheskoy teorii differentsialnykh uravneniy i konstruktivnye metody postroeniya pervogo i vysshego priblizheniy. Effektivnost razrabotannoy asimptoticheskoy teorii illyustriruetsya na nekotorykh zadachakh prikladnogo nelineynogo analiza. Dlya spetsialistov v oblasti nelineynogo analiza, matematicheskogo modelirovaniya i vychislitelnoy tekhniki.
The main mathematical object studied in the monograph, is a regular on the small parameter of the multi-frequency system of ordinary differential equations with slow and fast phase variable, which is the resonance ratio between the major frequencies.
Classification of resonant systems, which is based on the idea of jam or nezastroennoe solution in the neighborhood of the resonance points, developed by a constructive perturbation theory, using the principle of averaging (smoothing), the asymptotic representation in the sense of Poincare and iterative variants of the classical method of Lyapunov—Poincare. In most cases it is possible to build approximate solutions of multi-frequency systems in analytical or numerical-analytical form with any assigned accuracy in terms of the small parameter. It also outlines some common issues of computer technology the asymptotic theory of differential equations and constructive methods build the first and higher approximations.
The effectiveness of the developed asymptotic theory is illustrated on some problems of applied nonlinear analysis.
For specialists in the field of nonlinear analysis, mathematical modeling and computing.
