Настоящая монография является первой из трех запланированных автором к изданию книг, объединенных общей темой "Теория приближений и численный анализ в топологических пространствах". В ней вводится понятие функционального сплайна как точного решения системы линейных функциональных уравнений в пространствах с локально выпуклой топологией. В основе метода его построения лежит теория двойственности в локально выпуклых пространствах. Вариационное решение конечной системы называется алгебраическим сплайном. Он строится в виде конечного разложения по точно вычисленному семейству функций, двойственному для заданных функционалов системы.
Если система бесконечна, исследуются вопросы выбора векторных пространств, в которых ищется решение, топологий в них, и формулируются требования к свойствам заданного счетного семейства функционалов системы с тем, чтобы дуальное для него счетное множество функций образовало базис Шаудера в соответствующем топологическом пространстве. Дается способ его точного вычисления. Решение системы линейных функциональных уравнений строится в форме разложения по данному базису. Приводятся примеры приложения метода к теории приближений. Аппроксимирующие конструкции по аналогии со сплайнами Шенберга названы топологическими сплайнами. Рассмотренная весьма общая ситуация охватывает и классическую теорию сплайнов. Такое определение сплайна в общем случае не связано с выбором сетки.
Метод проективного предела используется для построения базисов в ядерных пространствах. В частности, переходом к проективному пределу в последовательности пространств Соболева вычислен базис в пространствах Шварца.
Установлена связь рассмотренной теории с классической теорией базисов. Классические семейства функций: алгебраические многочлены, тригонометрические многочлены и семейство показательных функций вычислены как базисные в предельных пространствах для некоторых счетных последовательностей пространств с полускалярным произведением.
Книга предназначена для студентов и аспирантов физико-математических специальностей, а также научных работников и преподавателей, интересующихся современными вопросами численного анализа. В книге рассматриваются не только вопросы теории, но и большое количество практических задач.
Nastoyashchaya monografiya yavlyaetsya pervoy iz trekh zaplanirovannykh avtorom k izdaniyu knig, obedinennykh obshchey temoy "Teoriya priblizheniy i chislennyy analiz v topologicheskikh prostranstvakh". V ney vvoditsya ponyatie funktsionalnogo splayna kak tochnogo resheniya sistemy lineynykh funktsionalnykh uravneniy v prostranstvakh s lokalno vypukloy topologiey. V osnove metoda ego postroeniya lezhit teoriya dvoystvennosti v lokalno vypuklykh prostranstvakh. Variatsionnoe reshenie konechnoy sistemy nazyvaetsya algebraicheskim splaynom. On stroitsya v vide konechnogo razlozheniya po tochno vychislennomu semeystvu funktsiy, dvoystvennomu dlya zadannykh funktsionalov sistemy. Esli sistema beskonechna, issleduyutsya voprosy vybora vektornykh prostranstv, v kotorykh ishchetsya reshenie, topologiy v nikh, i formuliruyutsya trebovaniya k svoystvam zadannogo schetnogo semeystva funktsionalov sistemy s tem, chtoby dualnoe dlya nego schetnoe mnozhestvo funktsiy obrazovalo bazis SHaudera v sootvetstvuyushchem topologicheskom prostranstve. Daetsya sposob ego tochnogo vychisleniya. Reshenie sistemy lineynykh funktsionalnykh uravneniy stroitsya v forme razlozheniya po dannomu bazisu. Privodyatsya primery prilozheniya metoda k teorii priblizheniy. Approksimiruyushchie konstruktsii po analogii so splaynami SHenberga nazvany topologicheskimi splaynami. Rassmotrennaya vesma obshchaya situatsiya okhvatyvaet i klassicheskuyu teoriyu splaynov. Takoe opredelenie splayna v obshchem sluchae ne svyazano s vyborom setki. Metod proektivnogo predela ispolzuetsya dlya postroeniya bazisov v yadernykh prostranstvakh. V chastnosti, perekhodom k proektivnomu predelu v posledovatelnosti prostranstv Soboleva vychislen bazis v prostranstvakh SHvartsa. Ustanovlena svyaz rassmotrennoy teorii s klassicheskoy teoriey bazisov. Klassicheskie semeystva funktsiy: algebraicheskie mnogochleny, trigonometricheskie mnogochleny i semeystvo pokazatelnykh funktsiy vychisleny kak bazisnye v predelnykh prostranstvakh dlya nekotorykh schetnykh posledovatelnostey prostranstv s poluskalyarnym proizvedeniem. Kniga prednaznachena dlya studentov i aspirantov fiziko-matematicheskikh spetsialnostey, a takzhe nauchnykh rabotnikov i prepodavateley, interesuyushchikhsya sovremennymi voprosami chislennogo analiza. V knige rassmatrivayutsya ne tolko voprosy teorii, no i bolshoe kolichestvo prakticheskikh zadach.
This monograph is the first of three planned by the author to the publishing of books, United by a common theme of "approximation Theory and numerical analysis in topological spaces." It introduced the concept of a function as accurate spline solutions of systems of linear functional equations in spaces with a locally convex topology. The method of its construction is based on the theory of duality in locally convex spaces. Variational solution of the final system is called algebraic spline. It is built in the form of final decomposition on the computed family of functions, the dual functionals for a given system.
If the system is infinite, examines the issues of choice of vector spaces in which we seek a solution topologies in them, and formulate the requirements for the properties of a given countable family of functionals of the system in order to dual for it countable set of functions formed the basis of the Schauder in the appropriate topological space. Given a method for its exact computation. Solution of system of linear functional equations is constructed in the form of an expansion in this basis. Examples of the application of the method to the theory of approximations. Approximating structures by analogy with the splines of Schoenberg called topological splines. Considered a very General situation covers the classical theory of splines. This definition of a spline in the General case, due to the mesh.
The method of projective limit is used to build bases in nuclear spaces. In particular, the transition to the projective limit of a sequence of Sobolev spaces calculated basis in the spaces of Schwartz.
The connection of the considered theory with the classical theory of bases. Classical families of functions: algebraic polynomials, trigonometric polynomials and the family of exponential functions the base as calculated in the limiting spaces for some countable sequence of spaces with poluskeletnye work.
The book is intended for undergraduate and graduate students of physical-mathematical specialties, and researchers and teachers interested in modern problems of numerical analysis. The book covers not only theory, but also a large number of practical problems.
