Дано изложение метода решения различных задач электростатики, связанных с макроскопическими телами произвольной формы. Искомый потенциал ищется в виде разложения по системе собственных функций, являющихся, в свою очередь, регулярными решениями уравнения Лапласа в отсутствие внешнего электрического поля. Этим методом найдены общие выражения для тензора дипольной поляризуемости тела, для функции Грина, а также для потенциалов краевых (граничных) задач Дирихле и Неймана. Рассмотрен ряд точно решаемых примеров (шар, сфероиды, клин, конус и др.), для каждого из которых найдена полная система собственных функций. Изложенный подход может быть использован и для других физических и математических задач, требующих решения уравнения Лапласа.
Dano izlozhenie metoda resheniya razlichnykh zadach elektrostatiki, svyazannykh s makroskopicheskimi telami proizvolnoy formy. Iskomyy potentsial ishchetsya v vide razlozheniya po sisteme sobstvennykh funktsiy, yavlyayushchikhsya, v svoyu ochered, regulyarnymi resheniyami uravneniya Laplasa v otsutstvie vneshnego elektricheskogo polya. Etim metodom naydeny obshchie vyrazheniya dlya tenzora dipolnoy polyarizuemosti tela, dlya funktsii Grina, a takzhe dlya potentsialov kraevykh (granichnykh) zadach Dirikhle i Neymana. Rassmotren ryad tochno reshaemykh primerov (shar, sferoidy, klin, konus i dr.), dlya kazhdogo iz kotorykh naydena polnaya sistema sobstvennykh funktsiy. Izlozhennyy podkhod mozhet byt ispolzovan i dlya drugikh fizicheskikh i matematicheskikh zadach, trebuyushchikh resheniya uravneniya Laplasa.
The authors present a method of solving various problems of electrostatics related to macroscopic bodies of arbitrary shape. The desired potential is sought in the form of decomposition on system of eigenfunctions, which, in turn, the regular solutions of the Laplace equation in the absence of an external electric field. By this method the General expression for a tensor dipole polarizability of the body, for green's function and for potential boundary (boundary) of the Dirichlet and Neumann problems. Considered a number of exactly solvable examples (sphere, spheroids, wedge, cone, etc.), each of which was found a complete system of eigenfunctions. This approach can be used for other physical and mathematical problems requiring the solution of the Laplace equation.
