В монографии излагаются современные математические методы качественного анализа динамических систем применительно к классической задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой. Рассмотренные задачи группируются вокруг трех связанных друг с другом проблем: существование однозначных аналитических интегралов, периодические решения, малые знаменатели. Эти проблемы занимают одно из центральных мест в классической механике.
Первое издание вышло в 1980 г. и давно стало библиографической редкостью. В новое издание вошла работа В.В.Козлова, посвященная исследованию уравнений Дуффинга.
Содержание
Некоторые используемые обозначения 8
От редакции 9
Предисловие 11
Глава I. Несуществование аналитических интегралов канонических систем, близких к интегрируемым 14
1. Обобщение теоремы Пуанкаре об отсутствии
аналитических интегралов 14
2. Пример из динамики 22
3. Несуществование частных аналитических интегралов 25
4. Приложение к динамике. Вынужденные колебания
математического маятника 30
Исторический очерк 35
Глава II. Задача о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой как возмущение случая Эйлера-Пуансо 37
1. Переменные действие-угол 37
2. Числа вращения и их свойства 44
3. Невырожденность задачи Эйлера-Пуансо 49
4. Разложение возмущающей функции 51
Исторический очерк 53
Глава III. Неинтегрируемость задачи о вращении несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки 55
1. Структура векового множества 55
2. Задача о несуществовании
нового аналитического интеграла 61
3. Несуществование дополнительного
интеграла, аналитического в специальных канонических переменных 63
4. Несуществование дополнительного интеграла, аналитического в переменных Эйлера-Пуассона 68
Исторический очерк 72
Глава IV. Динамические эффекты, препятствующие интегрируемости уравнений движения несимметричного тела 74
1. Характеристические показатели. Теорема
Пуанкаре о периодических решениях 74
2. Возмущение равномерных движений 80
3. Рождение изолированных периодических решений из семейств периодических решений задачи Эйлера-Пуансо 86
4. Рождение изолированных периодических решений - препятствие к интегрируемости 97
5. Теорема о расщеплении сепаратрис возмущенной задачи Эйлера-Пуансо 98
6. Возмущение сепаратрис в случае Гесса-Аппельрота 105
Исторический очерк 106
Глава V. Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела 107
1. Теорема о несуществовании однозначных интегралов 107
2. Доказательство теоремы $1$ 111
3. Приложение к задаче о вращении
тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки 113
4. Доказательство теоремы 2 116
5. Приложение к вынужденным колебаниям математического маятника 120 Исторический очерк 125
Глава VI. Принцип наименьшего действия и периодические решения в динамике твердого тела 130
1. Аналог теоремы Хопфа-Ринова 130
2. Аналог леммы Гаусса 137
3. Либрации в системах со многими степенями свободы 140
4. Приложение к задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой в осесимметричном силовом поле 143
Исторический очерк 146
Глава VII. Вопросы качественного анализа движения волчка Горячева-Чаплыгина 148
1. Разделение переменных
в случае Горячева-Чаплыгина 149
2. Динамические системы, возникающие на инвариантных торах задачи Горячева-Чаплыгина 152
3. Задача о собственном вращении 157
4. Задача о движении линии узлов 161
5. Теорема о временных средних 167
Исторический очерк 170
Глава VIII. Финальные свойства интегралов от квазипериодических функций 172 1. Уточнение одной теоремы Боля 173
2. Теорема о возвращении 177
3. Теорема о нулях 187
4. Динамические системы
с интегральным инвариантом на торе 189
5. Приложение к задаче о движении линии узлов в случае Горячева-Чаплыгина 195
Исторический очерк 197
Глава IX. Вопросы качественного анализа движения волчка Ковалевской 199
1. Динамические системы, возникающие на инвариантных торах задачи Ковалевской 199
2. Собственное вращение 206
3. Теорема о поведении циклических переменных в интегрируемых системах 211
4. Поведение линии узлов. Качественная картина вращения волчка Ковалевской 215
5. Приложение к исследованию обобщенных лиувиллевых систем 217
Исторический очерк 224
Литература 226
Приложение. О периодических решениях уравнений Дуффинга 234
1. Уравнения Дуффинга 234
2. Периодические решения 235
3. Расщепление сепаратрис и периодические решения 242
V monografii izlagayutsya sovremennye matematicheskie metody kachestvennogo analiza dinamicheskikh sistem primenitelno k klassicheskoy zadache o vrashchenii tverdogo tela s nepodvizhnoy tochkoy. Rassmotrennye zadachi gruppiruyutsya vokrug trekh svyazannykh drug s drugom problem: sushchestvovanie odnoznachnykh analiticheskikh integralov, periodicheskie resheniya, malye znamenateli. Eti problemy zanimayut odno iz tsentralnykh mest v klassicheskoy mekhanike. Pervoe izdanie vyshlo v 1980 g. i davno stalo bibliograficheskoy redkostyu. V novoe izdanie voshla rabota V.V.Kozlova, posvyashchennaya issledovaniyu uravneniy Duffinga. Soderzhanie Nekotorye ispolzuemye oboznacheniya 8 Ot redaktsii 9 Predislovie 11 Glava I. Nesushchestvovanie analiticheskikh integralov kanonicheskikh sistem, blizkikh k integriruemym 14 1. Obobshchenie teoremy Puankare ob otsutstvii analiticheskikh integralov 14 2. Primer iz dinamiki 22 3. Nesushchestvovanie chastnykh analiticheskikh integralov 25 4. Prilozhenie k dinamike. Vynuzhdennye kolebaniya matematicheskogo mayatnika 30 Istoricheskiy ocherk 35 Glava II. Zadacha o vrashchenii tyazhelogo tverdogo tela s nepodvizhnoy tochkoy kak vozmushchenie sluchaya Eylera-Puanso 37 1. Peremennye deystvie-ugol 37 2. CHisla vrashcheniya i ikh svoystva 44 3. Nevyrozhdennost zadachi Eylera-Puanso 49 4. Razlozhenie vozmushchayushchey funktsii 51 Istoricheskiy ocherk 53 Glava III. Neintegriruemost zadachi o vrashchenii nesimmetrichnogo tyazhelogo tverdogo tela vokrug nepodvizhnoy tochki 55 1. Struktura vekovogo mnozhestva 55 2. Zadacha o nesushchestvovanii novogo analiticheskogo integrala 61 3. Nesushchestvovanie dopolnitelnogo integrala, analiticheskogo v spetsialnykh kanonicheskikh peremennykh 63 4. Nesushchestvovanie dopolnitelnogo integrala, analiticheskogo v peremennykh Eylera-Puassona 68 Istoricheskiy ocherk 72 Glava IV. Dinamicheskie effekty, prepyatstvuyushchie integriruemosti uravneniy dvizheniya nesimmetrichnogo tela 74 1. KHarakteristicheskie pokazateli. Teorema Puankare o periodicheskikh resheniyakh 74 2. Vozmushchenie ravnomernykh dvizheniy 80 3. Rozhdenie izolirovannykh periodicheskikh resheniy iz semeystv periodicheskikh resheniy zadachi Eylera-Puanso 86 4. Rozhdenie izolirovannykh periodicheskikh resheniy - prepyatstvie k integriruemosti 97 5. Teorema o rasshcheplenii separatris vozmushchennoy zadachi Eylera-Puanso 98 6. Vozmushchenie separatris v sluchae Gessa-Appelrota 105 Istoricheskiy ocherk 106 Glava V. Nesushchestvovanie odnoznachnykh integralov i vetvlenie resheniy v dinamike tverdogo tela 107 1. Teorema o nesushchestvovanii odnoznachnykh integralov 107 2. Dokazatelstvo teoremy $1$ 111 3. Prilozhenie k zadache o vrashchenii tyazhelogo tverdogo tela vokrug nepodvizhnoy tochki 113 4. Dokazatelstvo teoremy 2 116 5. Prilozhenie k vynuzhdennym kolebaniyam matematicheskogo mayatnika 120 Istoricheskiy ocherk 125 Glava VI. Printsip naimenshego deystviya i periodicheskie resheniya v dinamike tverdogo tela 130 1. Analog teoremy KHopfa-Rinova 130 2. Analog lemmy Gaussa 137 3. Libratsii v sistemakh so mnogimi stepenyami svobody 140 4. Prilozhenie k zadache o vrashchenii tverdogo tela s nepodvizhnoy tochkoy v osesimmetrichnom silovom pole 143 Istoricheskiy ocherk 146 Glava VII. Voprosy kachestvennogo analiza dvizheniya volchka Goryacheva-CHaplygina 148 1. Razdelenie peremennykh v sluchae Goryacheva-CHaplygina 149 2. Dinamicheskie sistemy, voznikayushchie na invariantnykh torakh zadachi Goryacheva-CHaplygina 152 3. Zadacha o sobstvennom vrashchenii 157 4. Zadacha o dvizhenii linii uzlov 161 5. Teorema o vremennykh srednikh 167 Istoricheskiy ocherk 170 Glava VIII. Finalnye svoystva integralov ot kvaziperiodicheskikh funktsiy 172 1. Utochnenie odnoy teoremy Bolya 173 2. Teorema o vozvrashchenii 177 3. Teorema o nulyakh 187 4. Dinamicheskie sistemy s integralnym invariantom na tore 189 5. Prilozhenie k zadache o dvizhenii linii uzlov v sluchae Goryacheva-CHaplygina 195 Istoricheskiy ocherk 197 Glava IX. Voprosy kachestvennogo analiza dvizheniya volchka Kovalevskoy 199 1. Dinamicheskie sistemy, voznikayushchie na invariantnykh torakh zadachi Kovalevskoy 199 2. Sobstvennoe vrashchenie 206 3. Teorema o povedenii tsiklicheskikh peremennykh v integriruemykh sistemakh 211 4. Povedenie linii uzlov. Kachestvennaya kartina vrashcheniya volchka Kovalevskoy 215 5. Prilozhenie k issledovaniyu obobshchennykh liuvillevykh sistem 217 Istoricheskiy ocherk 224 Literatura 226 Prilozhenie. O periodicheskikh resheniyakh uravneniy Duffinga 234 1. Uravneniya Duffinga 234 2. Periodicheskie resheniya 235 3. Rasshcheplenie separatris i periodicheskie resheniya 242
In the monograph outlines the modern mathematical methods of qualitative analysis of dynamical systems applied to the classical problem on rotation of a rigid body with a fixed point. The objectives are grouped around three interrelated issues: the existence of an unambiguous analytic integrals, periodic solutions, small denominators. These issues occupy a Central place in classical mechanics.
The first edition came out in 1980 and has long become a bibliographic rarity. The new edition includes the work of V. V. Kozlov on the study of Duffing equations.
The contents
Some conventions used in this guide 8
From the editors 9
Preface 11
Chapter I. the Nonexistence of analytic integrals of canonical systems that are nearly integrable 14
1. Generalization of the theorem of Poincare about the absence
analytical integrals 14
2. An example of the dynamics 22
3. The non-existence of analytic integrals of private 25
4. Application to the dynamics. Forced oscillations
mathematical pendulum 30
Historical sketch 35
Chapter II. The problem of rotation of a heavy rigid body with a fixed point as a perturbation of the case of Euler-Poinsot 37
1. Variables action-angle 37
2. Rotation numbers and their properties 44
3. Nondegeneracy of the tasks of the Euler-Poinsot 49
4. The expansion of the disturbing function 51
Historical sketch 53
Chapter III. Nonintegrability of the problem of rotation of a heavy asymmetric rigid body around a fixed point 55
1. The structure of the age-old variety 55
2. The problem of non-existence
new analytical integral 61
3. The non-existence of additional
integral analytic in the special canonical variables 63
4. The nonexistence of an additional integral, analytic in the variables of Euler 68
Historical sketch 72
Chapter IV. Dynamic effects that disrupt the integrability of the equations of motion of a nonsymmetric body 74
1. Characteristic indicators. Theorem
Poincare periodic solutions of 74
2. The perturbation is uniform movements 80
3. The birth of isolated periodic solutions of families of periodic solutions of the Euler-Poinsot 86
4. The birth of isolated periodic solutions - an obstruction to integrability 97
5. Theorem about the splitting of separatrices of the perturbed problem of the Euler-Poinsot 98
6. The indignation of separatrices in the case of Hess-Appelrot 105
Historical review 106
Chapter V. the non-existence of definite integrals and branching of solutions in rigid body dynamics 107
1. Theorem on the nonexistence of definite integrals 107
2. The proof of theorem $1$ 111
3. Application to the problem of the rotation
of a heavy rigid body around a fixed point 113
4. The proof of theorem 2 116
5. Application to forced oscillations of mathematical pendulum 120 Historical sketch of 125
Chapter VI. The principle of least action and periodic solutions in rigid body dynamics 130
1. The analogue of the theorem of Hopf-Rinova 130
2. The analogue of the Lemma of Gauss 137
3. Libration in systems with many degrees of freedom 140
4. Application to the problem of the rotation of a rigid body with a fixed point in an axially symmetric force field 143
Historical sketch 146
Chapter VII. Questions for the qualitative analysis of motion of a top Goryachev-Chaplygin 148
1. Separation of variables
in the case of Goryachev-Chaplygin 149
2. Dynamic systems arising on the invariant tori tasks Goryachev-Chaplygin 152
3. The task on the own rotation 157
4. The problem of the motion of the line of nodes 161
5. Theorem time averages 167
Historical sketch of 170
Chapter VIII. The final properties of integrals of quasiperiodic functions 172 1. One refinement theorems Bohl 173
2. Return theorem 177
3. A theorem on the zeros of 187
4. Dynamic system
with an integral invariant on the torus 189
5. Application to the problem of the motion of the line of nodes in the case of Goryachev-Chaplygin 195
Historical sketch 197
Chapter IX. Questions for the qualitative analysis of motion of the Kovalevskaya top 199
1. Dynamic systems arising on the invariant tori of the Kovalevskaya problem 199
2. Own rotation 206
3. The theorem about the behaviour of cyclic variables in integrable systems 211
4. The behavior of the line of nodes. A qualitative picture of the rotation of the Kovalevskaya top 215
5. Application to the study of generalized liouvillian systems 217
Historical sketch 224
Literature 226
App. Periodic solutions of Duffing equations 234
1. Equation Duffing 234
2. Periodic solutions 235
3. The splitting of separatrices and periodic solutions 242
