Рассматривается восходящая к Архимеду и Ньютону задача о зависимости объема, отсекаемого плоскостью от ограниченного тела, от этой плоскости. В частности, мы докажем гипотезу В. И. Арнольда о том, что для тела с гладкой границей в четномерном пространстве этот объем не может алгебраически зависеть от коэффициентов уравнения плоскости, и приведем геометрические препятствия к такой алгебраичности в нечетномерном случае.В книге рассказано об истории вопроса и о методах, позволяющих решать такие и подобные задачи (включая задачи о разрешимости уравнений в радикалах): теории монодромии, аналитическом продолжении, группах преобразований, порожденных отражениями, и топологии комплексных многообразий.Книга основана на курсах лекций, прочитанных на ЛШСМ в 2013 и 2014 гг.Для старшеклассников и студентов младших курсов.
Rassmatrivaetsya voskhodyashchaya k Arkhimedu i Nyutonu zadacha o zavisimosti obema, otsekaemogo ploskostyu ot ogranichennogo tela, ot etoy ploskosti. V chastnosti, my dokazhem gipotezu V. I. Arnolda o tom, chto dlya tela s gladkoy granitsey v chetnomernom prostranstve etot obem ne mozhet algebraicheski zaviset ot koeffitsientov uravneniya ploskosti, i privedem geometricheskie prepyatstviya k takoy algebraichnosti v nechetnomernom sluchae.V knige rasskazano ob istorii voprosa i o metodakh, pozvolyayushchikh reshat takie i podobnye zadachi (vklyuchaya zadachi o razreshimosti uravneniy v radikalakh): teorii monodromii, analiticheskom prodolzhenii, gruppakh preobrazovaniy, porozhdennykh otrazheniyami, i topologii kompleksnykh mnogoobraziy.Kniga osnovana na kursakh lektsiy, prochitannykh na LSHSM v 2013 i 2014 gg.Dlya starsheklassnikov i studentov mladshikh kursov.
